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RELATIVIDADE
(Parte VIII)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

As limitações da Mecânica Newtoniana e a teoria da Relatividade Restrita

EQUIVALÊNCIA ENTRE MASSA E ENERGIA

Sugestões e comprovações de que existe algum tipo de relação muito íntima entre o conceito de massa e o de energia surgem em vários campos da física. Já vimos que um aumento da quantidade de movimento de uma partícula vem sempre associado a um aumento de sua massa.

No final do século XIX ficou claro que a luz “transporta” momento e energia, sendo esta uma propriedade das ondas eletromagnéticas (*). Usando esta propriedade Einstein propôs um raciocínio através do qual se conclui que o princípio da inércia seria violado caso não se associasse massa à energia.

O argumento é o seguinte: imaginemos uma caixa em repouso em um referencial inercial. Num determinado instante, radiação é emitida de uma das paredes da caixa (para a esquerda, na ilustração a seguir). Havendo conservação de momento linear, a caixa recua em sentido oposto. Quando a radiação é absorvida na parede o posta da caixa, a caixa para. Assim, se não associarmos uma massa a energia que foi transferida de um lado da caixa ao outro, teremos um sistema que, sem estar submetido à forças externas e inicialmente em repouso, sofre um deslocamento. Isto violaria o princípio da inércia. Não haverá violação se associarmos à energia transferida uma certa massa. De fato, a caixa se desloca num sentido mas, dentro da caixa, massa é transferida em sentido oposto, mantendo em repouso o centro de massa do sistema.


(*) - Um pacote de luz (ou radiação eletromagnética de qualquer tipo) que transporta uma energia E numa direção i, possui um momento linear p = (E/c).i . Esta relação é verificada experimentalmente.


Equacionando o problema conclui-se que para preservar o princípio da inércia deve-se atribuir uma massa m à energia transferida E, tal que m = E/c2. Optamos por não incluir aqui a demonstração dos pormenores do cálculo, mas tal deve ser visto nos compêndios adequados, tais quais os indicados na bibliografia da parte final dessas leituras.

Outra forma de se abordar o problema da relação entre massa e energia é analisando a expressão (26) que nos mostra como varia a massa com a velocidade. Vamos reescreve-la assim:

m(V) = mo (1 - V2/c2)-1/2 = g.mo   .... (28)

Desenvolvendo a raiz em série temos:

m(V) = mo + (1/2)mo(V2/c2) + (3/8)mo(V4/c4) + ....    (29)

Por ser V/c « 1 os termos à partir do segundo são desprezíveis e temos, multiplicando ambos os membros por c2 :

[m(V) - mo] c2 ~ (1/2)mo V2 (Expressão aproximada, válida para V«c) ....  (30)

Podemos assim interpretar este resultado como sugerindo que a variação da massa multiplicada por c2   é  igual   à energia cinética da partícula. Re-arranjando os termos e explicitando m(V)c2 temos:

m(V)c2 = moc2 + k = gmoc2 = E   ....  (31)

onde K representa a energia cinética da partícula.
Somos
tentados a interpretar o termo moc2 como uma energia intrínseca da partícula de massa de repouso mo, ou seja uma energia de repouso da partícula. Neste caso diremos que m(V)c2 = E é a energia total da partícula a qual é composta de duas parcelas, uma intrínseca, de repouso e outra cinética, devida ao movimento.

Se partículas fossem eternas e imutáveis, esta interpretação não necessitaria de outras confirmações pois estaríamos definindo uma energia moc2 inalterável, não utilizável e não mensurável. Entretanto, a experiência mostra que partículas podem ser criadas e destruídas e que moc2 representa a energia necessária para se criar uma partícula de massa m . Este fato experimental permite interpretar o termo m(V)c2 como a energia total E da partícula de massa relativística m(V) (ou simplesmente m) , com todas as implicações usuais do termo energia.

A energia cinética relativística de uma partícula livre, que se move com velocidade V em relação a um referencial será, pois, de (31):

A energia cinética relativística difere da energia cinética newtoniana e se reduz a esta última para velocidades pequenas. Assim, a (30) é uma expressão aproximada e válida apenas para velocidades pequenas quando comparadas com c.

A relação (32) pode também ser deduzida diretamente, sem hipóteses suplementares, a partir da segunda lei fundamental da dinâmica escrita na forma

F = dp/dt   ... (33)

Integrando e impondo que o trabalho realizado pela força seja igual à variação de energia cinética obtém-se a (32)

Ë interessante notar que Newton, originalmente, escreveu a lei fundamental da dinâmica na forma (33) que é válida relativisticamente! Devemos lembrar que p, na expressão (33), é o produto da massa relativística pela velocidade. Supondo m constante, como fez Newton, a (33) se reduz à forma usual F = ma que só é válida para pequenas velocidades. A dedução pormenorizada pode ser encontrada nos livros indicados na bibliografia.

A expressão da equivalência entre massa e energia ¾ E = m.c2  ...   (34) ¾  é importantíssima na Física e tem conseqüências práticas de grande alcance.


Próxima Leitura: Relatividade - Parte IX - Conseqüências da equivalência massa/energia

 


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