RELATIVIDADE
(Parte X)

Prof. Luiz Ferraz Netto
leobarretos@uol.com.br

As limitações da Mecânica Newtoniana e a teoria da Relatividade Restrita

RELAÇÃO ENTRE ENERGIA E MOMENTO LINEAR

Vamos apresentar agora a relação existente entre momento linear relativístico e energia total de uma partícula. Para tanto, retornemos à expressão do momento linear, (27):

Escrevamos agora as identidades:       g² - g².b² = 1    e     m_o²c⁴(g² - g².b²) = m_o²c⁴ 

efetuando a multiplicação obtemos:

g² m_o²c⁴ - m_o²g² b²c⁴ = m_o²c⁴     .....   (36)

No membro esquerdo reconhecemos que o primeiro termo é igual a   m²c⁴ = E²   ou o quadrado da energia total da partícula. 0 segundo termo, comparando com a expressão (35), pode ser substituído por p².c². Obtemos assim:

E² - p²c² = m_o² c⁴    ....   (37)

Esta expressão pode ser representada graficamente, pois os termos estão entre si como os lados de um triângulo retângulo em que E é a hipotenusa. No gráfico está também representada a energia cinética K dada pela (32).

A expressão (37), além da sua importância em relacionar momento e energia relativística, envolve uma propriedade muito importante. O segundo membro de (37) está ligado a m_o que é uma propriedade intrínseca da partícula considerada e a velocidade da luz no vácuo. Assim, este segundo membro tem um valor que é independente do referencial em relação ao qual a partícula é observada - é pois um “invariante”. Assim, para a partícula considerada, a diferença entre o quadrado de sua energia total e o quadrado do seu momento multiplicado pelo quadrado da velocidade da luz tem o mesmo valor em relação a qualquer referencial. Podemos assim escrever:

E'² - p'²c² = E² - p²c² = m_o² c⁴  ......  (38)

sendo E’ e p‘ energia e momento em relação a um referencial inercial S’ qualquer e E e p a energia e o momento em relação a outro referencial inercial S qualquer.

A expressão (37) nos revela outro fato importante que se refere a partículas de massa de repouso nula como os fótons (que compõem a luz) e os neutrinos. Estas partículas só “existem” com a velocidade da luz. A relação entre momento e energia para essas partículas é, fazendo m_o = 0, em (37):

E = p.c     .....   (39)

Este resultado já foi citado em conexão ao estudo da relação entre massa e energia e foi verificado experimentalmente tanto para fótons como para neutrinos.

Quando a velocidade de uma partícula é muito próxima de c (g » 1) muitas expressões relativísticas se simplificam. Dizemos que uma partícula nessas condições é ultra­relativística e sua energia de repouso é desprezível quando comparada com sua energia total. Esta aproximação é chamada aproximação ultra-relativística. Para uma partícula ultra-relativística:

E ~ pc ~ k
p ~ gm_oc
v ~ c
b ~ 1 (cuidado, b - 1 ¹ 0)!

Próxima Leitura: Relatividade - Parte XI - Tabela das fórmulas e Bibliografia