menu_topo

Fale com o professor Lista geral do site Página inicial Envie a um amigo Autor

Sobre a relação entre as velocidades 
de grupo e de  fase

Por
Sérgio M M Taborda
sergiotaborda@hotmail.com

8 Jan. 03

Trabalho publicado no Feira de Ciências com expressa autorização do autor, o Eng. Físico Sérgio M. M. Taborda.


A escrita deste documento derivou da necessidade sentida em analisar como seriam as equações E = pc e E = mc² descritas em ordem a outros objetos físicos que não necessariamente a luz, mas que se mantivessem corretas para o caso particular da luz. Isto porque a grandeza c representa nas condições usadas em relatividade cumulativamente duas grandezas diferentes. Representa, no vácuo, a velocidade de grupo e velocidade de fase da luz. Assim é difícil generalizar as equações referidas sem saber qual o papel que c desempenha nelas. É isso que tentaremos descobrir neste documento.

1. Introdução
Na teoria da relatividade de Einstein é comum usar um parâmetro que tem dimensões de velocidade mas que depende do meio em que a propagação ocorre.

É sabido, dos trabalhos de Maxwell e Hertz, que o campo eletromagnético permite em certas condições a propagação de radiação eletromagnética e que a velocidade desta propagação depende do meio e é dada por[1]:

  ... (1)

O valor de c é, portanto, uma constante para cada meio, e é diferente de meio para meio. Este fato provoca efeitos como a difração e a refração, por exemplo[2].

Contudo, o que nos preocupa aqui é que essa quantidade no vácuo é simultaneamente a velocidade de grupo e de fase. Assim, quando nas fórmulas de relatividade se escreve c, não se sabe se estaremos a falar de velocidade de fase ou de velocidade de grupo.

O objetivo deste documento é tentar explicitar qual c corresponde com velocidades de fase e qual corresponde com velocidades de grupo.

2. Definição de Velocidade de Grupo e de Fase
As velocidades de grupo e de fase definem-se para ondas. Ondas são objetos físicos caracterizados por serem periódicos no espaço e no tempo. Uma onda pode ser caracterizada de muitas formas. Apresentaremos aqui a forma mais comum:

  ... (2)

A0 representa a amplitude da onda no instante inicial e na posição inicial (x = 0, t = 0). O numero de onda k está relacionado com o comprimento de onda [ k=2p/l ],  e a velocidade angular w com a freqüência da onda [ w=2pf ]. Por outro lado podemos verificar que w/k tem unidades de velocidade. Ainda, em geral w é uma função de k : w=w(k).

A relação entre w e k estabelece ambos os conceitos de velocidade de fase (vf)e de grupo (vg). Elas são definidas como:

   ... (3)

Paralelamente definimos u2 como:

   ... (4)

No caso da luz no vácuo, as velocidades são iguais a c donde, nesse caso, u2=c2.

3. Relação entre a Velocidade de Grupo e a de Fase
Das definições apresentadas em (3) podemos imediatamente concluir por simples substituição que:

   ... (5)

Desta relação podemos concluir que as duas velocidades apenas serão iguais se a velocidade de fase não depender do número de onda (k). O mesmo é dizer, se a velocidade de fase não depender do comprimento de onda (l).

No caso em que haja dependência então a velocidade de grupo poderá ser menor ou maior que a velocidade de fase conforme a relação que existir entre esta e o número de onda.

Multiplicando ambos os termos da (5) por vg obtemos:

   ... (6)

Donde podemos concluir que:

   ... (7)

4. Princípios Físicos (Planck-Einstein e De Broglie)
O principio de Planck- Einstein, introduziu o principio quântico na física sendo precursor da física do nosso tempo. Este principio afirma que a energia (E) da luz (que é uma onda) é diretamente proporcional à sua freqüência.

   ... (8)

Onde h é a Constante de Planck e f a freqüência. Esta relação pode escrever-se ainda como[3]:

  ... (9)

Por outro lado, temos o principio de De Broglie, que afirma que:

   ... (10)

Pelo que podemos reescrever as definições das velocidades de fase e grupo, à luz destes princípios como:

   ... (11)

Onde E é a energia total e p o momento linear. Destas definições podemos escrever diretamente a equação:

   ... (12)

Esta equação equipara-se com E = pc. Descobrimos, assim, facilmente, que aquele c representa uma velocidade de fase.

Reescrevendo (12) obtemos:

  ... (13)

Esta equação equipara-se à famosa equação E = mc2 onde este c2 é o produto das velocidades de fase e de grupo.

5. Massa, Energia e Freqüência
Igualando (8) com (13) obtemos diretamente:

  ... (14)

Isto significa que podemos atribuir a qualquer corpo uma massa que é definida desta forma. Ou que, para cada massa podemos atribuir uma freqüência. Ou que, para cada corpo podemos atribuir uma característica (f) que depende da interação da massa m com o meio (caracterizado por meio de u). 
Para o caso da luz, obtemos o conhecido resultado m = hf / c2 uma vez que o produto das velocidades no vácuo é sempre igual a c2 e, nesse caso, u2=c2.

5.1- Dois Conceitos de Massa

5.1.1 - Massa Comum e Massa Invariável
Diretamente de (4), por (11) , podemos escrever:

  ... (15)

Integrando (15), concluímos que:

   ... (16)

Usando (12) , (13) e simplificando, obtemos:

  ... (17)

Definindo uma quantidade auxiliar M[4], tal que:

   ... (18)

Obtemos:

  ... (19)

É importante referir que m0 é o valor da massa do objeto físico no instante inicial em que a mesma partícula tem momento p0 e energia E0. Não é portanto uma variável. O mesmo se pode dizer para vg0 e vf0. M tem portanto dimensões de massa e depende das condições iniciais do objeto físico.

No caso da luz no vácuo u2 = c2 e as velocidades de fase e grupo são iguais em qualquer ocasião, donde: M = 0 por (18) donde E = pc para a luz por (19).

Estes resultados já haviam sido obtidos em relatividade restrita, mas baseados em outros pressupostos, como sejam a independência da velocidade da luz da velocidade da fonte.

Por outro lado M poderá ser nula se m0 for zero. Isto, a se verificar, originaria duas partículas distintas ambas com M = 0 mas que não são necessariamente iguais já que os valores da razão entre velocidades seria, em principio, diferente.

Não se infere, contudo, destas relações que a massa do corpo físico, m, varie com a velocidade de grupo, nem que M é a mesma para todas as velocidades de grupo.

Peguemos então em (19) e (13) para obter uma relação entre m e M

  ... (20)

Usando (18) obtemos:

   ... (21)

Compreendemos, portanto, que M representa o papel de uma constante inalterável sempre com o mesmo valor em qualquer instante igual ao produto da massa m por um fator que depende da razão entre a velocidade de fase e de grupo.

De (21) podemos também concluir que:

   ... (22)

Que resulta numa conhecida relação da relatividade se u2 = c2
A diferença importante é que em relatividade u = c para todos os corpos e apenas vg pode variar livremente conforme a propulsão do corpo físico. Neste documento, não se vislumbra uma razão para que u tenha de ser c para todos os corpos, assim que é usado como um parâmetro. Aliás, esta diferenciação entre c , vg, vf e u é o próprio objetivo deste documento, de forma que, salta aos olhos qual a velocidade que tem um papel importante para cada grandeza.

5.1.2 - Massa como variação da Velocidade de Fase com o Numero de Onda
Diretamente das definições de velocidade de grupo e momento linear obtemos a relação:

   ... (23)

Dividindo a equação (5) por p obtemos diretamente:

  ... (24)

Utilizando a relação de De Broglie obtemos facilmente:

   ... (25)

Aquilo a que chamamos massa, tem, para o caso de uma onda, uma relação estrita com a variação da velocidade de fase com o número de onda (ou seja, com o comprimento de onda). No caso da luz no vácuo, vf = c = constante, pelo que não varia com k. Então a expressão anterior reescreve-se como:

   ... (26)

Esta relação engloba dois resultados pré-conhecidos: p = mc e mc2 = hf sendo portanto válida no caso da luz.

6. Comparação com os resultados da relatividade

Relatividade Estrita

Resultados obtidos

Baseada na transformação entre dois referenciais, na idéia de sincronismo e de que a velocidade da luz não depende da velocidade da fonte emissora.

Baseada nas definições de velocidade de grupo e de fase, momento linear e no principio de Planck-Einstein e de De Broglie

E2 = p2c2 + M2c4

E2 = p2u2 + M2u4

E = p.c

  E = p.vf

E = mc2 = hf

  E = mu2 = hf

 

 

M= ?

M é por definição a massa clássica do corpo físico. É um invariante no sentido que é a mesma para todos os referenciais. Representa também a massa de um corpo parado.

M não é definida como a massa clássica do corpo físico, mas como uma quantidade auxiliar, constante para cada corpo físico (ver eq (21) ), que depende da interação deste com o meio e da sua própria massa.

Todos os resultados obtidos se transformam nos resultados conhecidos em relatividade se vg = vf = c e u2 = c2 o que é verdade nas condições usadas na derivação da relatividade restrita.

7. Conclusões
Obtivemos assim por processos puramente matemáticos partindo das definições usuais das grandezas física em jogo as formas mais gerais das mais relevantes fórmulas da relatividade restrita. 
Até que ponto podemos inferir daqui que as equações relativistas têm por base as propriedades inerentes a ondas, ou até onde podemos dizer que os princípios de Planck-Einstein e de De Broglie são mais primários que os da relatividade restrita? (afinal de contas, antes da luz ser regida por outras leis, é regida pelas leis inerentes à Onda que ela é).

Finalmente, sendo a equação (19) a base do encontro das anti-partículas e sendo estas descritas por funções de onda até onde é possível dizer que as transformadas de Lorentz usadas como base da relatividade, têm realmente um papel fundamental na descrição do processo?

Por outro lado, encontramos resultados indicando que as formulas da relatividade restrita podem não derivar de fenômenos relativistas (i.e. dependentes de velocidades relativas não nulas) mas sim da própria natureza dos objetos em estudo: ondas.

As experiências efetuadas para testar equações como E = mc2 são feitas com partículas subatômicas que podem, segundo a Mecânica Quântica atual, serem pensadas como ondas. Embora não saibamos de quê são essas ondas, o papel da relação entre as velocidades de fase e de grupo parece não só importante, mas vital.

 Em resumo, que significado têm o fato das equações derivadas pelas definições de referenciais relativos serem as mesmas que as derivadas apenas com recurso ao conceito de velocidade de grupo e a uma série de hipóteses enunciadas como princípios?


A. Anexo A: Relação entre razões
No vácuo e para a luz, a equação (12) toma a forma da conhecida relação presente nas equações de Maxwell, já que nestas condições a velocidade de fase é igual a c:

E = pc   ... (27)

Que para a luz, se transforma em mais uma conhecida formula:

E = mc2  ... (28)

Que, pelos resultados de (14) pode ser escrita como:

E = hf   ... (29)

Que é válida para qualquer sistema. Por outro lado podemos também escrever:

  ... (30)

Esta relação foi usada em (22), mas ela poderia ser deduzida apenas recorrendo à teoria da relatividade restrita, o que aponta para que o termo em c2 pode ser substituído pelo razão entre velocidades de grupo e de fase.

O fato da razão em c2 fazer divergir todas as relações da relatividade restrita criou a idéia de que não seria possível alcançar velocidades superiores a à velocidade da luz.

O que aprendemos daqui, é que essa relação é de fato a relação ente as velocidades de fase e de grupo do objeto físico. No vácuo, temos sempre que vg £ vf fazendo a razão ser sempre menor ou igual a 1. Contudo em outros materiais que não o vácuo, esta relação pode ser invertida.

Mas mesmo este fato não possibilita o envio de informação a velocidades maiores, já que a velocidade da informação é limitada pela menor velocidade presente, seja a de fase ou a de grupo.


[1] Onde e representa a permissividade elétrica do meio e m representa a permeabilidade magnética do mesmo meio. Usaremos a letra c para representar a velocidade da luz num certo meio. O meio em causa será neste documento o vácuo de modo que sendo que as expressões válidas para qualquer meio, o são também para este.

[2] Isto é patente na lei de Snell. 

[3] Onde   e w = 2 pf é a freqüência angular

[4] A escolha da letra M pode causar alguma confusão com a mesma letra usada em relatividade para descrever a massa própria. Contudo, como se vê das equações, M tem unidades de massa. E como vemos mais à frente, ela se relaciona com m da mesma forma que em relatividade.


O autor e responsável pelo 'site' Feira de Ciências, Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo], agradece e se sente honrado com a publicação desse trabalho nesse espaço.


Copyright © Luiz Ferraz Netto - 2000-2011 ® - Web Máster: Todos os Direitos Reservados

Nova pagina 1