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Astronomia - FAQ - 01

Marcelo Moura - Observatório Phoenix
Prof. Luiz Ferraz Netto [Léo]
 

Pergunta:

Como é a equação para cálculo da posição de um planeta?

Resposta:

- O cálculo da posição de um planeta foi a maior obra de Johannes Kepler, que primeiro conseguiu equacionar suas órbitas, baseado nos dados coletados por seu mestre, Tycho Brahe. Estes cálculos se baseiam nas três leis, hoje conhecidas como leis de Kepler:

1- As órbitas de um planeta são elipses e o Sol ocupa um de seus f
ocos.

2- A velocidade orbital é tal que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

3- O quadrado do período de revolução é proporcional ao cubo da distância média ao Sol.

Alguns livros de astronomia costumam trazer gráficos para a localização dos planetas, mas não conseguem precisar sua posição.
A equação para as órbitas planetárias, é a equação geral das elipses:

 

Onde x e y fornecem a posição do planeta no plano de coordenadas. a e b são respectivamente os semi-eixos maior e menor da elipse.

O problema é posicionar esta elipse no espaço. Para isso você terá de ter em mãos os sete elementos orbitais que equacionarão a órbita:

onde:
a= semi eixo maior da elipse
e= excentricidade da órbita
i= inclinação da órbita em relação ao plano da eclíptica
W= longitude do nodo ascendente
w= argumento do perihélio
T= instante da passagem pelo periélio
n= o movimento médio

Estes parâmetros, aliados ao tempo decorrido desde a passagem pelo periélio, fornecerão a posição do planeta, mas quando verificamos a sua posição real, observamos que ainda existem muitas correções a serem feitas devido à perturbação gravitacional dos outros planetas, que afetam reciprocamente suas órbitas de maneira muito complexa. Centenas de parâmetros têm de ser computados. Para calcular esta interação, hoje são usados computadores rápidos que geram tabelas com precisão bastante alta, mas que ainda contêm erros na ordem de alguns minutos. Como você pode ver, não existe uma equação única para a solução do problema, e sim uma série de procedimentos.

Um resumo deste trabalho seria mais ou menos assim:

Você aplica na fórmula da elipse o semi-eixo maior e a excentricidade para determinar a equação que atende à sua órbita.
Em seguida você tem que calcular a anomalia excêntrica e a anomalia verdadeira através da fórmula da área da elipse.
Usando a fórmula de Kepler você calculará a anomalia média e o movimento médio. Com o movimento médio você calcula o período e a constante de proporcionalidade, e a velocidade areolar.
Para posicionar o planeta sobre esta órbita você terá que calcular o tempo decorrido Dt entre o T, que é o instante da passagem do planeta pelo periélio e a data desejada. Este dado é fornecido como dia juliano, calculado a partir do momento desejado (ano,mês,dia, hora e fração). Baseado na diferença de tempo decorrido você pode plotar o planeta sobre a curva.
Pronto! O problema está resolvido no plano. Mas o planeta e sua órbita estão no espaço: teremos de usar coordenadas espaciais.
Assim sendo, a equação obtida será posicionada sobre um referencial com a origem no Sol (sistema heliocêntrico) usando a geometria esférica. Para isso você usará a inclinação da órbita, a longitude do nodo ascendente e o argumento do periélio.
Depois que estas equações estiverem prontas, teremos de trazer a origem para o nosso ponto de vista, ou seja, para a posição da Terra, passando do sistema heliocêntrico para o sistema geocêntrico. Esta mudança exige que a Terra já esteja localizada no espaço, num sistema de equações similar ao do trabalho.
Após reduzidas à posição topocêntrica, local do observador, os raios vetores e seus ângulos são transformados em Ascensão Reta e Declinação, que são os dados da posição do astro.
Esta é a parte simples do problema, que não leva em consideração as perturbações gravitacionais dos outros planetas. Para isso, são incluídas equações diferenciais para cada um dos planetas envolvidos.
As equações diferenciais são solucionadas pelo sistema de aproximações sucessivas, isto é, calcula-se um valor base que é realimentado e gera um novo valor, que é novamente realimentado, até que se consiga a precisão necessária. É por isso que são usados computadores de alta velocidade!
Um dos maiores triunfos da mecânica celeste usando estas técnicas foi a descoberta do planeta Netuno em 1846 a partir das perturbações causadas pelo movimento de Urano, numa época que os cálculos eram feitos a lápis.

Como vimos, não existe uma fórmula para o cálculo da posição do planeta e sim uma série complexa de procedimentos.

Estes dados são tabelados e publicados regularmente nos anuários do Observatório Nacional.


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